Er ligesteget overvurderet? Matematikere Hash It Out


”Du har denne situation, hvor (papirer) enten kommer tilbage fra tidsskrifter med absurde dommerrapporter, der afspejler dyb misforståelser, eller de bare tager flere år at offentliggøre,” sagde Barwick. "Det kan gøre folks liv ubehageligt, fordi et upubliceret papir, der sidder på dit websted i årevis og år begynder at se lidt sjovt ud."

Alligevel var det største problem ikke papirer, der gik upublicerede, men papirer, der brugte uendeligt kategorier og blev offentliggjort – med fejl.

Luries bøger er den enkelt, autoritative tekst om uendeligt kategorier. De er helt strenge, men svære at forstå fuldstændigt. De er især dårligt egnet til at tjene som referencehåndbøger – det er vanskeligt at slå op på bestemte sætninger, eller til at kontrollere, at en bestemt anvendelse af uendelighedskategorier, som man måtte støde på i en andens papir, virkelig fungerer.

”De fleste mennesker, der arbejder på dette område, har ikke læst Lurie systematisk,” sagde André Joyal, en matematiker ved University of Quebec i Montreal, hvis tidligere arbejde var en nøgleingrediens i Luries bøger. ”Det ville tage en masse tid og energi, så vi antager slags, hvad der er i hans bog er korrekt, for næsten hver gang vi tjekker noget, er det korrekt. Faktisk hele tiden. ”

Utilgængeligheden af ​​Luries bøger har ført til en upræcision i nogle af de efterfølgende undersøgelser, der er baseret på dem. Luries bøger er svære at læse, de er svære at nævne, og de er svære at bruge til at kontrollere andre menneskers arbejde.

"Der er en følelse af sløvhed omkring den generelle kategori af uendelig kategori," sagde Zakharevich.

På trods af al dens formalisme er matematik ikke beregnet til at have hellige tekster, som kun præsterne kan læse. Feltet har brug for pamfletter såvel som tomes, det har brug for fortolkende skrivning ud over original åbenbaring. Og lige nu findes teori om uendeligt kategori stort set som et par store bøger på hylden.

"Du kan tage den holdning, at 'Jacob fortæller dig, hvad du skal gøre, det er fint,'" sagde Rezk. "Eller du kan indtage den holdning, at 'Vi ved ikke, hvordan vi præsenterer vores emne godt nok til, at folk kan hente det og køre med det.'"

Alligevel har nogle få matematikere taget udfordringen op ved at gøre uendelighedskategorier til en teknik, som flere i deres felt kan køre med.

En brugervenlig teori

For at oversætte uendelighedskategorier til objekter, der kunne udføre reelt matematisk arbejde, måtte Lurie bevise sætninger om dem. Og for at gøre det, var han nødt til at vælge et landskab, i hvilket han skulle oprette disse bevis, ligesom nogen, der laver geometri, skal vælge et koordinatsystem, hvor han skal arbejde. Matematikere omtaler dette som valg af en model.

Lurie udviklede uendeligt kategorier i modellen af ​​kvasi-kategorier. Andre matematikere havde tidligere udviklet infinity-kategorier i forskellige modeller. Selvom denne indsats var langt mindre omfattende end Luries, er de lettere at arbejde med i nogle situationer. ”Jacob valgte en model og kontrollerede, at alt fungerede i den model, men ofte er det ikke den nemmeste model at arbejde i,” sagde Zakharevich.

I geometri forstår matematikere nøjagtigt, hvordan man flytter mellem koordinatsystemer. De har også bevist, at sætninger beviste sig i det ene miljøarbejde i de andre.

Med uendeligt kategorier er der ingen sådanne garantier. Men når matematikere skriver papirer ved hjælp af uendelighedskategorier, bevæger de sig ofte breezily mellem modeller under forudsætning af (men ikke beviser) at deres resultater bærer over. ”Folk specificerer ikke, hvad de laver, og de skifter mellem alle disse forskellige modeller og siger,” Åh, det er det samme, ”sagde Haine. ”Men det er ikke et bevis.”

I de sidste seks år har et par matematikere forsøgt at stille disse garantier. Riehl og Dominic Verity fra Macquarie University i Australien har udviklet en måde at beskrive uendelighedskategorier, der bevæger sig ud over de vanskeligheder, der er skabt i tidligere modellspecifikke rammer. Deres arbejde, der bygger på tidligere arbejde af Barwick og andre, har bevist, at mange af teoreme i Højere Topos-teori hold uanset hvilken model du anvender dem i. De beviser denne kompatibilitet på en passende måde: ”Vi studerer uendelighedskategorier, hvis objekter i sig selv er disse uendelighedskategorier,” sagde Riehl. "Kategoriteori spiser selv slags her."